Some Remarks on the Local Unitary Classification of Three-Qubit Pure States

三量子比特纯态局域幺正分类的多少注记

https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-6596/1540/1/012025/pdf

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多体纠缠的表征经常是一项具有挑战性的任务。对于三量子比特系统而言，纠缠多面体（entanglement polytope）尤其有用，因为它允许从几何的角度对关系的非局域性质进行定性分析。在本有设想中，咱们通过数值方式标明，对于三量子比特系统，某些纠缠类别与纠缠多面体中的特定区域之间存在对应关系。

1. 小引

纠缠是多体量子系统的一个基本特色，使得其中每一个组成部分的性质无法独处于其他部分来描摹[1,2]。频年来，东说念主们在纠缠的产生、识别和操控方面作念出了一些起劲[3]。事实上，这种资源的一些骨子应用也如故完毕。然而，仍然存在一些需要克服的挑战。波及的子系统越多，纠缠的表征就越复杂[4]。举例，跟着组成因素数目的增多，会出现很多不等价的纠缠类型，因此远隔这些类型组成了一个基本问题[3]。另一方面，已知两个具有换取纠缠量的量子态在局部幺正变换下是等价的[5]。因此，不错通过对应的轨说念来进行分类。举例，在三量子比特纯态的情况下，等价类由五个连气儿参数标记，因此纠缠分类波及大齐的内容[6,7]。不外，不错凭证这五个参数所决定的纠缠性质将态矢量进行分组。比较之下，若是使用随即局域操作和经典通讯（SLOCC）的步伐进行分类，则仅存在两种纠缠类型[8]。

一种搞定分类问题的方式是通过纠缠多面体来进行。对于大宗子比特纯态，发现单个量子比特约化密度矩阵的最小本征值满足所谓的多边形不等式（polygon inequalities）[9]。对于三量子比特系统，这些不等式决定了一个三维空间中的多面体。该决策提供了一种仅通过笃定局域谱来见证和分类多体纠缠的判据，因为对于非局域性质的信息被编码在这个凸体中[5,10,11]。本文旨在哄骗这一表面框架，进一步加深对三量子比特纯态在局域幺正变换下的分类的意会。为此，咱们通过数值方式完毕了纠缠的局域幺正类型与多面体中某些区域之间的对应关系的识别。

本文的结构如下：

在第2节中，咱们从头转头纠缠多面体（entanglement polytope）的表面。咱们将先容其界说不等式，并谈判一些代表性三量子比特纯态的几何图像。

在第3节中，咱们转头了局域幺正纠缠分类（local unitary entanglement classification），并展示了通过数值方式识别它们在多面体上的对应投影。

临了，第4节给出了本文的一些论断与估量。

2. 三量子比特纠缠多面体

咱们谈判一个由三个两能级系统 A、B 和 C 组成的系统。这么的系统由一个纯态 |ψ⟩ 描摹，该态属于希尔伯特空间。在臆想基矢下，该态不错示意为：

对于这些态矢量，臆想出了最小三元组 (λA, λB, λC)T，并发现第一个态的图像位于点 ~λW = (1/3, 1/3, 1/3)T 处，而 GHZ 态则位于图 1 中的偏握 G 处。另一方面，双可分态 |ψAi = |φAi ⊗ |φBCi、|ψBi = |φBi ⊗ |φACi 和 |ψCi = |φCi ⊗ |φABi 分别位于边 SA、SB 和 SC 上。代表性的态矢量将不才一节中先容。

当咱们关切一个纯态的纠缠性质时，这一框架组成了一种优雅且高大的器用，仅通过笃定局部谱（即无需测量各部分之间的任何干联）即可检测多体纠缠，而测量这些关联经常需要大齐的执行责任 [3, 11]。虽然，在咱们的情形中，不错通过将一个纯态在最小特征值空间中的图像定位，来探伤信得过三体纠缠的存在，因为多面体（polytope）中的某些区域只与特定类型的纠缠相容 [10, 11]。举例，当咱们谈判在随即局域操作和经典通讯（SLOCC）下具有等价纠缠的态时，即那些不错以有限得胜概率互相调度的态，存在两种类型的三体纠缠：W 型和 GHZ 型 [8]。在前一种情况下，代表态矢量是 |Wi，见公式(3)，属于此类的态会被投影到四面体 SABC 内。另一方面，GHZ 类型的态掩盖总计这个词多面体，其代表态矢量为 |GHZi，见公式(4)。该方式已在光学系统中完毕了执行考据，边界标明它在识别不同纠缠类型方面止境灵验，比较圆善的层析重建所需资源更少 [3]。

不才一节中，咱们将谈判三体纠缠的一种更邃密的分类，这种分类是通过谈判局域幺正变换得到的。在这种情形下会出现无尽多种纠缠类型，然而，不错凭证一些局域幺正不变量的取值将态进行归类，这些不变量决定了它们的纠缠性质。咱们发现，这个止境直不雅的几何框架有助于真切意会这种态的分类。

3. 纠缠的局域幺正等价类的几何视角

咱们称两个处于并吞 Hilbert 空间中的态矢量 |ψ⟩ 和 |ϕ⟩ 在局域幺正操作下第价，若是存在局域幺正矩阵 {Ui} 使得：

咱们的成见是将苟且态矢量编削为一种最简形貌（minimal form），使适当且仅当两个态矢量的最简形貌换取期，它们才是局域幺正等价的（简称为 LU 等价）[1]。在刻下情形下，任何三量子比特纯态齐不错被编削为一种最简形貌，其中每一个态矢量不错独一地示意为五个正交基矢直积态的线性组合。骨子上，通过局域幺正变换，方程(1)中的态不错写成如下形貌 [6, 7]：

到现在为止，咱们如故展示了三量子比特纯态的局域幺正等价分类，以及它们在最小特征值空间中的图像可视化。从咱们的分析不错看出，某些类型包含两个或更多具有相似纠缠性质的代表性态矢量。举例，在图 2a、2d 和 3d 中不错显著看出这小数。

此外，该多面体（polytope）不仅提供了对于子系统的谱性质的信息，还不错告诉咱们哪些纠缠类大约产生两体纠缠（bipartite entanglement）。

对于 第1类 ，其图像位于原点，因此每个子系统的最小特征值均为零。

对于 第2a类 ，可分的子系统对应的特征值长久为零，而另外两个部分的特征值换取。

对于 第2b类 ，总计子系统的最小特征值齐换取，因此其图像位于线段 SG 上。此外，这类态无法通过测量获取两体纠缠，因为一朝任何一方进行测量，纠缠就会被芜杂。从几何上看，这一特色一目了然，因为咱们弗成苟且接近那些双可分态处所的边。而对于 第3a类 ，则不错从这类态中获取苟且两个子系统之间的两体纠缠。举例，若 A 测得其子系统处于态 |1⟩，则不错笃定 B 和 C 分享一个纠缠态；若 A 的子系统处于态 |0⟩，则 A 不错笃定其他两方之间莫得纠缠（这一性质也在文件 [6] 中被说起）。

第3b类 是一种爱慕爱慕的类型。不雅察态 (13)，通过访佛的分析可知，不错获取 BC 之间的纠缠，但无法获取 AB 或 AC 之间的纠缠。从图 2d 不错立即看出，该态的图像位于四面体 SAG 里面，因此咱们不错苟且围聚边 SA，但弗成围聚 SB 或 SC。一样地，该图还标明，从态 (14) 和 (15) 分别只可索取出 AC 和 AB 之间的纠缠。

第4a类 不错索取任何形貌的两体纠缠。该类态图像的一个爱慕爱慕特色是它们更汇集于线段 SG 周围。

至于 第4b类 ，从图 3c 和 3d 可见，从态 (17) 不错索取 BC 和 AB 的纠缠，但无法索取 AC 的纠缠；而态 (18) 则弗成索取 AB 的纠缠。

对于 第4c类和第4d类 ，不错索取总计类型的两体纠缠，况且这些态也更汇集于线段 SG 周围。

值得一提的是，直到第4a类为止，局域幺正等价分类与纠缠多面体之间的对应关系已在文件 [10] 中有所报说念。本文进一步包含了对第4b至4d类的有设想。

4. 论断

本文简要转头了纠缠多面体表面以及三量子比特纯态的局域幺正等价分类。通过数值方式，咱们完毕了在所谓的最小特征值空间中对每种纠缠类型的可视化呈现，从而识别出这些类型与多面体中特定区域之间的对应关系，进一步加深了咱们对局域幺正等价分类的意会。

更具体地说，咱们的边界标明，这一框架被阐明是一个相宜的器用，可用于：

(i) 获取分享并吞三量子比特纯态的子系统的谱性质信息；

(ii) 判别不仅对于合座纠缠、也对于给定量子态中所包含的两体纠缠的信息。

以前的有设想标的不错包括对多面体的旋转和反射对称性的有设想。另一方面，还不错在这个三维空间中基于欧几里得距离界说度量，从中索取谈论纠缠进度的定量信息 [11]。此外，咱们也不错探讨在这种几何框架下奈何操控纠缠。这些方进取的有设想效果将在其他文件中另行报说念.

原文不时：https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-6596/1540/1/012025/pdf开云体育